Filtro de passagem média de banda média

A média móvel como um filtro A média móvel é frequentemente utilizada para suavização de dados na presença de ruído. A média móvel simples nem sempre é reconhecida como o filtro de Resposta de Impulso Finito (FIR) que é, enquanto é realmente um dos filtros mais comuns no processamento de sinal. Tratá-lo como um filtro permite compará-lo com, por exemplo, windowed-sinc filtros (ver os artigos sobre low-pass, high-pass, band-pass e band-reject filtros para exemplos desses). A principal diferença com esses filtros é que a média móvel é adequada para sinais para os quais a informação útil está contida no domínio do tempo. Das quais as medidas de alisamento por média são um excelente exemplo. Filtros windowed-sinc, por outro lado, são fortes performers no domínio da freqüência. Com equalização no processamento de áudio como um exemplo típico. Há uma comparação mais detalhada de ambos os tipos de filtros no domínio do tempo versus desempenho de domínio de freqüência de filtros. Se você tiver dados para os quais o tempo e o domínio de freqüência são importantes, então você pode querer dar uma olhada em Variações na Média Móvel. Que apresenta um número de versões ponderadas da média móvel que são melhores nisso. A média móvel de comprimento (N) pode ser definida como escrita como é tipicamente implementada, com a amostra de saída corrente como a média das amostras (N) anteriores. Visto como um filtro, a média móvel executa uma convolução da seqüência de entrada (xn) com um pulso retangular de comprimento (N) e altura (1N) (para fazer a área do pulso e, portanto, o ganho do filtro , 1 ). Na prática, é melhor tomar (N) ímpar. Embora uma média móvel possa também ser calculada usando um número par de amostras, usar um valor ímpar para (N) tem a vantagem de que o atraso do filtro será um número inteiro de amostras, uma vez que o atraso de um filtro com (N) Amostras é exactamente ((N-1) 2). A média móvel pode então ser alinhada exatamente com os dados originais deslocando-o por um número inteiro de amostras. Domínio Dado que a média móvel é uma convolução com um pulso retangular, a sua resposta de frequência é uma função sinc. Isso torna algo como o dual do filtro windowed-sinc, uma vez que é uma convolução com um pulso sinc que resulta em uma resposta de freqüência retangular. É esta resposta de freqüência de sinc que faz com que a média móvel seja um desempenho fraco no domínio da freqüência. No entanto, ele funciona muito bem no domínio do tempo. Portanto, é perfeito para suavizar os dados para remover o ruído, enquanto ao mesmo tempo ainda mantém uma rápida resposta passo (Figura 1). Para o típico Ruído Gaussiano Branco Aditivo (AWGN) que é freqüentemente assumido, a média (N) de amostras tem o efeito de aumentar a SNR por um fator de (sqrt N). Como o ruído para as amostras individuais não está correlacionado, não há razão para tratar cada amostra de forma diferente. Assim, a média móvel, que dá a cada amostra o mesmo peso, vai se livrar da quantidade máxima de ruído para uma dada nitidez resposta passo. Implementação Porque é um filtro FIR, a média móvel pode ser implementada através de convolução. Ele terá então a mesma eficiência (ou falta dela) como qualquer outro filtro FIR. No entanto, também pode ser implementado recursivamente, de uma forma muito eficiente. Segue-se diretamente a partir da definição de que esta fórmula é o resultado das expressões para (yn) e (yn1), ou seja, onde observamos que a mudança entre (yn1) e (yn) é que um termo extra (xn1N) aparece em O final, enquanto o termo (xn-N1N) é removido desde o início. Nas aplicações práticas, muitas vezes é possível deixar de fora a divisão por (N) para cada termo, compensando o ganho resultante de (N) em outro lugar. Esta implementação recursiva será muito mais rápida que a convolução. Cada novo valor de (y) pode ser calculado com apenas duas adições, em vez das (N) adições que seriam necessárias para uma implementação direta da definição. Uma coisa a olhar para fora com uma implementação recursiva é que os erros de arredondamento irá acumular. Isso pode ou não pode ser um problema para o aplicativo, mas também implica que essa implementação recursiva realmente funcionará melhor com uma implementação inteira do que com números de ponto flutuante. Isso é bastante incomum, uma vez que uma implementação de ponto flutuante é geralmente mais simples. A conclusão de tudo isso deve ser que você nunca deve subestimar a utilidade do simples filtro de média móvel em aplicações de processamento de sinal. Filter Design Tool Este artigo é complementado com uma ferramenta Filter Design. Experimente com diferentes valores para (N) e visualize os filtros resultantes. Experimente agora O cientista e engenheiros guia para processamento de sinal digital Por Steven W. Smith, Ph. D. Capítulo 14: Introdução aos Filtros Digitais Filtros de Passo Alto, Passagem de Faixa e Rejeição de Banda Os filtros passa-alto, passa banda e rejeição de banda são projetados começando com um filtro passa-baixo e convertendo-o na resposta desejada . Por esta razão, a maioria das discussões sobre o design do filtro só dá exemplos de filtros passa-baixa. Existem dois métodos para a conversão passa-baixa-alta: inversão espectral e inversão espectral. Ambos são igualmente úteis. Um exemplo de inversão espectral é mostrado em 14-5. A Figura (a) mostra um kernel de filtro passa-baixo chamado de windowed-sinc (o tópico do Capítulo 16). Este kernel de filtro tem 51 pontos de comprimento, embora muitas das amostras tenham um valor tão pequeno que parecem ser zero neste gráfico. A resposta de freqüência correspondente é mostrada em (b), encontrada adicionando 13 zeros ao kernel do filtro e tomando uma FFT de 64 pontos. Duas coisas devem ser feitas para mudar o kernel do filtro passa-baixo em um kernel de filtro passa-alto. Primeiro, mude o sinal de cada amostra no kernel do filtro. Em segundo lugar, adicione um para a amostra no centro de simetria. Isto resulta no kernel do filtro passa-alta mostrado em (c), com a resposta de frequência mostrada em (d). Inversão espectral inverte a resposta de freqüência de cima para baixo. Mudando as bandas passantes em bandas de parada e as bandas de parada em bandas passantes. Em outras palavras, ele altera um filtro de low-pass para high-pass, high-pass para low-pass, band-pass para band-reject ou band-reject para band-pass. A Figura 14-6 mostra por que essa modificação em dois estágios no domínio do tempo resulta em um espectro de freqüência invertido. Em (a), o sinal de entrada, x n, é aplicado a dois sistemas em paralelo. Um desses sistemas é um filtro passa-baixa, com uma resposta ao impulso dada por h n. O outro sistema não faz nada para o sinal, e, portanto, tem uma resposta de impulso que é uma função delta, delta n. A saída total, y n, é igual à saída do sistema all-pass menos a saída do sistema passa-baixa. Uma vez que os componentes de baixa frequência são subtraídos do sinal original, apenas os componentes de alta frequência aparecem na saída. Assim, é formado um filtro passa-alta. Isso pode ser executado como uma operação em duas etapas em um programa de computador: executar o sinal através de um filtro passa-baixa e, em seguida, subtrair o sinal filtrado a partir do original. No entanto, toda a operação pode ser realizada num estágio de sinal combinando os dois núcleos de filtro. Conforme descrito no Capítulo 7, sistemas paralelos com saídas adicionadas podem ser combinados em um único estágio adicionando suas respostas de impulso. Como mostrado em (b), o kernel do filtro para o filtro passa-alta é dado por: delta n-h n. Ou seja, mude o sinal de todas as amostras, e depois adicione uma à amostra no centro da simetria. Para que essa técnica funcione, os componentes de baixa freqüência que saem do filtro passa-baixo devem ter a mesma fase que os componentes de baixa freqüência que saem do sistema all-pass. Caso contrário, uma subtração completa não pode ocorrer. Isto coloca duas restrições no método: (1) o kernel do filtro original deve ter uma simetria esquerda-direita (isto é, uma fase zero ou linear), e (2) o impulso deve ser adicionado no centro da simetria. O segundo método para a conversão low-pass para high-pass, inversão espectral. É ilustrado na Fig. 14-7. Assim como antes, o kernel do filtro passa-baixo em (a) corresponde à resposta de freqüência em (b). O kernel do filtro passa-alta, (c), é formado pela alteração do sinal de cada outra amostra em (a). Como mostrado em (d), isso inverte o domínio de freqüência para a esquerda para a direita. 0 torna-se 0,5 e 0,5 torna-se 0. A frequência de corte do exemplo do filtro passa-baixa é de 0,15, resultando na frequência de corte do filtro passa-alta de 0,35. Mudar o sinal de cada outra amostra é equivalente a multiplicar o kernel do filtro por uma sinusoid com uma freqüência de 0,5. Conforme discutido no Capítulo 10, isso tem o efeito de deslocar o domínio da freqüência em 0,5. Observe (b) e imagine as freqüências negativas entre -0,5 e 0 que são de imagem espelhada das freqüências entre 0 e 0,5. As freqüências que aparecem em (d) são as freqüências negativas de (b) deslocadas em 0,5. Finalmente, as Figs. 14-8 e 14-9 mostram como os kernels de filtro passa-baixa e passa-alta podem ser combinados para formar filtros passa-banda e rejeição de banda. Em suma, a adição dos kernels de filtro produz um filtro de rejeição de banda, enquanto a convolução dos kernels de filtro produz um filtro passa-banda. Estas são baseadas na forma como cascata e sistemas paralelos são combinados, como discutido no Capítulo 7. Várias combinações dessas técnicas também podem ser usadas. Por exemplo, um filtro passa-banda pode ser concebido pela adição dos dois núcleos de filtro para formar um filtro passa-banda e, em seguida, utilizar inversão espectral ou inversão espectral como descrito anteriormente. Todas essas técnicas funcionam muito bem com poucas surpresas. Resposta de Frequência do Filtro de Média Corrente A resposta de freqüência de um sistema LTI é a DTFT da resposta de impulso. A resposta de impulso de uma média móvel de L é uma média móvel. , A resposta de freqüência reduz à soma finita Podemos usar a identidade muito útil para escrever a resposta de freqüência como onde temos deixado ae menos jomega. N 0 e M L menos 1. Podemos estar interessados ​​na magnitude desta função para determinar quais freqüências passam pelo filtro sem atenuação e quais são atenuadas. Abaixo está um gráfico da magnitude desta função para L 4 (vermelho), 8 (verde) e 16 (azul). O eixo horizontal varia de zero a pi radianos por amostra. Observe que, em todos os três casos, a resposta de freqüência tem uma característica de passagem baixa. Uma componente constante (frequência zero) na entrada passa através do filtro sem ser atenuada. Determinadas frequências mais elevadas, tais como pi 2, são completamente eliminadas pelo filtro. No entanto, se a intenção era projetar um filtro lowpass, então não temos feito muito bem. Algumas das freqüências mais altas são atenuadas apenas por um fator de cerca de 110 (para a média móvel de 16 pontos) ou 13 (para a média móvel de quatro pontos). Podemos fazer muito melhor do que isso. O gráfico acima foi criado pelo seguinte código Matlab: omega 0: pi400: pi H4 (14) (1-exp (-iomega4)) (1-exp (-iomega)) H8 (18) (1-exp (- (1-exp (-iomega)) (1-exp (-iomega)) traço (omega, abs (H4) abs (H8) abs ( Há muitos artigos sobre a resposta de freqüência do filtro de média móvel, mas todos eles parecem se concentrar na magnitude. No entanto, a fase de resposta é intrigante e eu acho difícil de interpretar. A fase parece envolver, mas envolve dentro do intervalo - pi, pi) em vez de em suas bordas. Exemplo abaixo: Um algoritmo de desenrolamento de fase não resolveria isso, então é realmente um pseudo-wrap. Além disso, se eu acrescentar toques à média móvel, aplaina este processo para fora, então eu suspeito que matematicamente, o filtro de média móvel nunca vai chegar a 0 ou 2 pi, embora eu nunca vi uma explicação porquê. Exemplo de um 11-tap: Eu acho esse comportamento fascinante e estaria interessado na interpretação de um especialista. Será que isso sugere que as características serão distorcidas em certos pontos fracos na resposta de freqüência É correto chamar a fase de um filtro de média móvel linear por partes em vez de linear Eu suspeito não, dado que filtros FIR simétricos são analiticamente mostrados para ter fase linear , Mas eu tenho dificuldade em chamar isso de linear. A resposta em freqüência de um filtro de média móvel de comprimento causal N é notar que A (omega) não é a magnitude de H (omega), mas é uma função de amplitude real, que assume positividade Bem como valores negativos. A fase phi (ômega) - (N-1) omega2, como definido em (1), é obviamente linear. Essa é também a definição comum quando falamos de uma resposta de fase linear. A diferença entre phi (omega) e hat (omega) é que sempre que A (omega) cruza zero, um salto de fase de pm pi ocorre no chapéu (Ômega), correspondendo a uma mudança de sinal em A (ômega). No entanto, ainda nos referimos a H (ômega) como uma resposta de freqüência com uma fase linear, porque phi (ômega) é uma função linear de ômega. Note-se que, na prática, uma fase linear é apenas relevante na banda de passagem de um filtro, isto é, numa região de frequência onde não existem zeros de H (ômega). Na faixa de passagem, também hat (ômega) é linear, porque só salta para os zeros de H (ômega).